Бесплатные Рефераты >>> Математика  



 

 

Приближенный метод решения интегралов. Метод прямоугольников (правых, средних, левых)

 

Лабораторная работа № 4.

Приближенный метод решения интегралов.

Метод прямоугольников (правых, средних, левых).

Гребенникова Марина

12-А класс

Многие инженерные задачи, задачи физики, геометрии и многих других областей человеческой деятельности приводят к необходимости вычислять определенный интеграл вида [pic]где f(x) -данная функция, непрерывная на отрезке [a; b]. Если функция f(x) задана формулой и мы умеем найти неопределенный интеграл F(x), то определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона-
Лейбница: [pic]

Если же неопределенный интеграл данной функции мы найти не умеем, или по какой-либо причине не хотим воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница или если функция f(x) задана графически или таблицей, то для вычисления определенного интеграла применяют приближенные формулы. Для приближенного вычисления интеграла можно использовать метод прямоугольников (правых, левых, средних). При вычислении интеграла следует помнить, каков геометрический смысл определенного интеграла. Если f(x)>=0 на отрезке [a; b], то [pic]численно равен площади фигуры, ограниченной графиком функции y=f(x), отрезком оси абсцисс, прямой x=a и прямой x=b (рис. 1.1) Таким образом, вычисление интеграла равносильно вычислению площади криволинейной трапеции.
[pic]

Разделим отрезок [a; b] на n равных частей, т.е. на n элементарных отрезков. Длина каждого элементарного отрезка [pic].
Точки деления будут: x0=a; x1=a+h; x2=a+2*h, ... , xn-1=a+(n-1)*h; xn=b.
Числа y0, y1, y2, ... , yn являются ординатами точек графика функции, соответствующих абсциссам x0, x1, x2, ... , xn (рис. 1.2).
Строим прямоугольники. Это можно делать несколькими способами:

Левые прямоуголики (слева на право)

Правые прямоугоники (построение справа на лево)


[pic]
Средние прямоугольники (посредине)
[pic]

Из рис. 1.2 следует, что площадь криволинейной трапеции приближенно заменяется площадью многоугольника, составленного из n прямоугольников.
Таким образом, вычисление определенного интеграла сводится к нахождению суммы n элементарных прямоугольников.

[pic] h=(b-a)/n –ширина прямоугольников

Формула левых прямоугольников:
[pic](1.3)
Формула правых прямоугольников:
[pic](1.4)
Формула средних прямоугольников.
Sсредих= (Sправых + Sлевых) /2
[pic](1.5)

Программа вычисления [pic] по методу левых прямоугольников.
Program levii;{Метод левых прямоугольников}

uses crt;

var i,n:integer; a,b,h,x,xb,s:real;

function f(x:real):real;

begin f:=(1/x)*sin(3.14*x/2); end;

begin

clrscr;

write('Введите нижний предел интегрирования '); readln(a);

write('Введите верхний предел интегрирования '); readln(b);

write('Введите количество отрезков '); readln(n);

h:=(b-a)/n; s:=0; xb:=a;

for i:=0 to n-1 do

begin x:=xb+i*h; s:=s+f(x)*h; end;

writeln('Интеграл равен ',s:12:10); readln;

end. a=1 b=2 n=10 S= 18,077 a=1 b=2 n=20 S= 18, 208 a=1 b=2 n=100 S= 18, 270

Программа вычисления [pic] по методу правых прямоугольников.

Program pravii; {Метод правых прямоугольников}

uses crt;

var i,n:integer; a,b,h,x,xb,s:real;

function f(x:real):real;

begin f:=(1/x)*sin(3.14*x/2); end;

begin

clrscr;

write('Введите нижний предел интегрирования '); readln(a);

write('Введите верхний предел интегрирования '); readln(b);

write('Введите количество отрезков '); readln(n);

h:=(b-a)/n; s:=0; xb:=a;

for i:=1 to n do

begin x:=xb+i*h; s:=s+f(x)*h; end;

writeln('Интеграл равен ',s:12:10); readln;

end. a=1 b=2 n=10 S=18,05455 a=1 b=2 n=20 S=18,55555 a=1 b=2 n=100 S= 18,2734


Программа вычисления [pic] по методу средних прямоугольников.

Program srednii; {Метод средних прямоугольников}

uses crt;

var i, n: integer; a, b, dx, x, s, xb : real;

function f(x : real):real;

begin f:=(1/x)*sin(3.14*x/2); end;

begin

clrscr;

write('Введите нижний предел интегрирования '); readln(a);

write('Введите верхний предел интегрирования '); readln(b);

write('Введите количество отрезков '); readln(n);

dx:=(b-a)/n; xb:=a+dx/2;

for i:=0 to n-1 do

begin x:=xb+i*dx; s:=s+f(x)*dx; end;

write('Интеграл равен ',s:15:10); readln;

end.

a=1 b=2 n=10 S=18,07667 a=1 b=2 n=20 S=18,368 a=1 b=2 n=100 S= 18,156

Заключение и выводы.

Таким образом очевидно, что при вычислении определенных интегралов методами прямоугольников не дает нам точного значения, а только приближенное.

Чем больше значение n, тем точнее значение интеграла..


 


 

Физический смысл гравитации
Физический смысл гравитации Юрий Солоневич Аннотация: Гравитационное поле в Теории Симметричных Процессов рассматривается, как вихревое, замкнутое (завершённое) электромагнитное поле ядра явления. Под ...

Формулы сложения вероятностей
Формулы сложения вероятностей. Из пункта 2 аксиомы, по которой вводилось определение вероятности события, следует, что если A1 и A2 несовместные события, то    P() = P(A1) + P(A2) Если A1 и A2 — совместные...

Позиционные системы счисления
Позиционные системы счисления Система счисления - это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр). Существуют системы позиционные и непозиционные. В непозиционных...

Идентификация автономного электрогидравлического следящего привода
Идентификация автономного электрогидравлического следящего привода Малышев В.Н., Попов Д.Н., Сосновский Н.Г. Автономные электрогидравлические следящие приводы (ЭГСП) с дроссельным регулированием широко применяют в...

Электронные учебники
Электронные учебники Бердникова М.Л. Сегодня во всем мире дистанционное обучение (ДО) стало реальным элементом развитого образования. Несомненно, что большой интерес к дистанционному образованию имеет объективную...

Теория игр и принятие решений
Теория игр и принятие решений В зависимости от условий внешней среды и степени информативности лица принимающего решение (ЛПР) производится следующая классификация задач принятия решений: а) в условиях риска; ...

Алгебра логики
Алгебра логики Реферат выполнили ученики 10 класса «В» Криницин Валерий, Урбанович Дмитрий Министерство науки УР Средняя школа № 12 Сарапул, 2004 г. 1. Введение Целью...

Шпоры по математическому анализу
1. Производные и дифференциалы высших порядков Опр-ие: производной n-го порядка (n(2) функции у=f(х) называется производная (первого порядка) от производной (n-1)-го порядка. Найдя 1-ю производную можно определить 2-ю производную по...

Модифицированный метод Хука-Дживса
Содержание: 1. Введение ………………………………………………… с. 2 2. Метод Хука-Дживса ……………………………………. с. 3 3. Модифицированный метод Хука-Дживса ……………. с. 4 4. Блок-схема данного метода ……………………………. с. 5 5. Блок-схема...

История математики
История математики Реферат подготовила: Арина 2003 год Самой древней математической деятельностью был счет. Счет был необходим, чтобы следить за поголовьем скота и вести торговлю. Некоторые первобытные...

Коричневые карлики
Коричневые карлики Владимир Сурдин Коричневые карлики - космические тела, занимающие по своим массам промежуточное положение между звездами и планетами. Коричневыми карликами принято называть объекты с массами...