Бесплатные Рефераты >>> Математика  



 

 

Виды тригонометрических уравнений

 

Реферат

на тему:

“Виды тригонометрических уравнений”

                                                                             Успенского Сергея

                                                                   

                                                                         

Харцызск

2001 год

                          Виды тригонометрических уравнений.

1. Простейшие тригонометрические уравнения:

Пример 1. 2sin(3x - p/4) -1 = 0.

 Решение. Решим уравнение относительно sin(3x - p/4).

sin(3x - p/4) = 1/2, отсюда по формуле решения уравнения sinx = а нахо­дим

3х - p/4 = (-1)n arcsin 1/2 + np, nÎZ.

Зх - p/4 = (-1)n  p/6 + np, nÎZ; 3x = (-1)n p/6 + p/4 + np, nÎZ;

x = (-1)n  p/18 + p/12 + np/3, nÎZ

Если k = 2n (четное), то х = p/18 + p/12 + 2pn/3, nÎZ.

Если k = 2n + 1 (нечетное число), то х = - p/18 + p/12 + ((2pn + 1)p)/3 =

= p/36 + p/3 + 2pn/3 = 13p/36 + 2pn/3, nÎz.

Ответ: х1 = 5p/6 + 2pn/3,nÎZ, x2 = 13p/36 + 2pn/3, nÎZ,

или в градусах: х, = 25° + 120 · n, nÎZ; x, = 65° + 120°· n, nÎZ.

Пример 2. sinx + Öз cosx = 1.

Решение. Подставим вместо Öз значение ctg p/6, тогда уравнение при­мет вид

sinx + ctg p/6 cosx = 1; sinx + (cosp/6)/sinp/6 · cosx = 1;

sinx sin p/6 + cos p/6 cosx = sin p/6; cos(x - p/6) = 1/2.

По формуле для уравнения cosx = а находим

      х - p/6 = ± arccos 1/2 + 2pn, nÎZ; x = ± p/3 + p/6 + 2pn, nÎZ;

     x1 = p/3 + p/6 + 2pn, nÎZ; x1 = p/2 + 2pn, nÎZ;

     x2 = - p/3 + p/6 + 2pn, nÎZ; x2  = -p/6 + 2pn, nÎZ;

Ответ: x1 = p/2 + 2pn, nÎZ;  x2  = -p/6 + 2pn, nÎZ.

2. Двучленные уравнения:

Пример 1. sin3x = sinx.

Решение. Перенесем sinx в левую часть уравнения и полученную разность преобразуем в произведение. sin3x - sinx == 0; 2sinx · cos2x = 0.

Из условия равенства нулю произведения получим два простейших уравнения.

                                sinx = 0       или   cos2x = 0.

                               x1 = pn, nÎZ,        x2 =  p/4 + pn/2, nÎZ.

 Ответ: x1 = pn, nÎZ,  x2 =  p/4 + pn/2, nÎZ.

3. Разложение на множители:

Пример 1. sinx + tgx = sin2x / cosx

Решение. cosx ¹ 0; x ¹ p/2 + pn, nÎZ.

sinx + sinx/cosx = sin2x / cosx . Умножим обе части уравнения на cosx.

sinx · cosx + sinx - sin2x = 0; sinx(cosx + 1 - sinx) = 0;

sinx = 0 или cosx - sinx +1=0;

x1 =  pn, nÎZ; cosx - cos(p/2 - x) = -1; 2sin p/4 · sin(p/4 - x) = -1;

Ö2 · sin(p/4 - x) = -1; sin(p/4 -x) = -1/Ö2; p/4 - x = (-1) n+1 arcsin 1/Ö2 + pn, nÎZ;

x2 = p/4 - (-1) n+1 · p/4 - pn, nÎZ; x2 = p/4 + (-1) n · p/4 + pn, nÎZ.

Если n = 2n (четное), то x = p/2 + pn, если n = 2n + l (нечетное), то x = pn.

Ответ: x1 = pn, nÎZ; x2 = p/4 + (-I)n  · p/4 + pn, nÎZ.

4. Способ подстановки

Пример 1. 2 sin2x = 3cosx.

Решение. 2sin2x - 3cosx = 0; 2 (l - cos2x) - 3cosx = 0; 2cos2x + 3cosx - 2 = 0.

Пусть z = cosx, |z| £ 1. 2z2 + 32z - 2=0.

Д = 9+16 = 25; ÖД = 5;  z1 = (-3 + 5)/4 = 1/2; z2 = (-3-5)/ 4 = -2 -

-не удовлетво­ряют условию для z. Тогда решим одно простейшее уравнение:

cosx = 1/2; х = ± p/3 + 2pn, nÎZ. Ответ: х = ± p/3 + 2pn, nÎZ.

5. Однородные уравнения

Однородные тригонометрические уравнения имеют такой вид:

a sin2x + b sinxcosx + c cos2x = 0 (однородное уравнение 2-й степени) или

a sin3x + b sin2x cosx + c sinx cos2x + d sin3x = 0 и т.д.

В этих уравнениях sinx ¹ 0, cosx ¹ 0. Решаются они делением обеих частей уравнения на sin2x или на cos2x и приводятся к уравнениям отно­сительно tgx или ctgx.

Пример 1. Ö3sin2 2x - 2sin4x + Ö3cos22x = 0.

Решение. Разложим sin4x по формуле синуса двойного угла.

Получим уравнение Ö3sin22x - 4sin2xcos2x + Ö3cos22x = 0.

Разделим на cos22x. Уравнение примет вид Ö3 tg22x – 4tg2x + Ö3 = 0.

Пусть z = tg2x, тогда Ö3z2 - 4z + Ö3 = 0; Д = 4; ÖД = 2.

z1 = (4 +2)/2Ö3 = 6/2Ö3 = Ö3; z2 = (4 – 2)/2Ö3 = 1/Ö3

tg2x = Ö3          или         tg2x = 1/Ö3

2x = p/3 + pn, nÎZ;         2x = p/6 + pn, nÎZ;

x1 = p/6 + pn/2, nÎZ ; x2 = p/12 + pn/2, nÎz.

Ответ: x1 = p/6 + pn/2, nÎZ ; x2 = p/12 + pn/2, nÎz.

6. Уравнение вида a sinx + b cosx = с

Пример 1. 3sinx + 4cosx = 5.

Решение. Разделим обе части уравнения на 5, тогда 3/5sinx + 4/5cosx = 1.

sinj = 4/5; cosj = 3/5; sin(x+j) = 1, x + j =  p/2 + 2pn, nÎZ.

Ответ: x = p/2 - arcsin 4/5 + 2pn, nÎZ.

7. Дробно-рациональные тригонометрические уравнения

Уравнения, содержащие тригонометрические дроби, называются дробно-рациональными уравнениями. В этих уравнениях требуется сле­дить за областью допустимых значений.

Пример 1. 1/(Ö3-tgx) – 1/(Ö3 +tgx) = sin2x

Решение. Область допустимых значений решений этого уравнения

tgx ¹ ± Ö3, х ¹ ± p/8 + pn, nÎZ и х ¹ ± p/2 + pn, nÎZ.

Левую часть уравнения приведем к общему знаменателю, а правую преобразуем с помощью формулы выражения синуса угла через тан­генс половинного угла.

(Ö3 + tgx - Ö3 + tgx)/3 - tg2x = 2tgx/ (1 + tg2x); 2tgx / (3 - tg2x) = 2tgx/(1 + tg2x)

x1 = pn, nÎZ

Второе уравнение имеет вид

2tg2x - 2 = 0; tg2x = 1; tgx = ±1; x2  = ± p/4 + pn, nÎZ.

Ответ: x1 = pn, nÎZ; х2 = ± p/4 + pn, nÎZ.

8. Иррациональные тригонометрические уравнения

Если в уравнении тригонометрическая функция находится под зна­ком радикала, то такое тригонометрическое уравнение будет иррацио­нальным. В таких уравнениях следует соблюдать все правила, которы­ми пользуются при решении обычных иррациональных уравнений (учи­тывается область допустимых значений как самого уравнения, так и при освобождении от корня четной степени).

Пример 1. Ö( cos2x + Ѕ) + Ö( sin2x  + Ѕ) = 2.

Решение. Уравнение имеет смысл при любом х. Возведем обе части уравнения в квадрат.

cos2x + Ѕ + 2 Ö(( cos2x + Ѕ) ( sin2x  + Ѕ)) + sin2x + Ѕ = 4

Ö(( cos2x + Ѕ) ( sin2x  + Ѕ)) = 1; ( cos2x + Ѕ) ( sin2x  + Ѕ) = 1

( Ѕ + Ѕ cos2x + Ѕ)( Ѕ - Ѕ cos2x + Ѕ) = 1; (1 + Ѕ cos2x) (1 - Ѕ cos2x) = 1;

1 – ј cos22x = 1; cos2x=0; x = p/4 + pn/2, nÎz

Ответ: x = p/4 + pn/2, nÎz.

9. Тригонометрические уравнения, в которых под знаком тригонометрической функции находится функция

Особого внимания заслуживают тригонометрические уравнения со сложной зависимостью, когда под знаком тригонометрической функ­ции находится какая-либо другая функция. Эти уравнения требуют до­полнительного исследования множества решений.

Пример 1. tg(x2 + 5x)ctg 6=1.

Решение. Запишем уравнение в виде tg(x2+5x)=tg 6. Учитывая, что аргументы равных тангенсов отличаются на свои периоды теп, имеем х2 + 5х = 6 + pn, nÎZ; х2 + 5х - (6+pn) = 0, nÎz;

Д = 25 + 4(6 + pn) = 49 + 4pn, nÎZ; х1,2 =  (-5 ± Ö(49 + 4pn))/2, nÎz

Решение имеет смысл, если 49 + 4pn > 0, т.е. n ³ -49/4p; n ³ -3.

Литераура:

“Математика” Р. Л . Вейцман, Л . Р. Вейцман, 2000 г.

(стр. 116 - 125)

“Алгебра начала анализа 10-11” А . Н . Колмогоров,

 А . М . Абрамов, Ю . П . Дудницын, Б . М . Ивлев,

С . И . Шварцбурд, 1993 г.

(стр. 62 - 78)


 


 

Методы сварки
Методы сварки Мерилом мастерства древних зодчих считалось умение построить здание без единого гвоздя. Тогда в ходу были дерево и топор, а как поступают современные умельцы в наш "железный" век? Без болта и заклепки они возводят...

Позиционные системы счисления
Позиционные системы счисления Система счисления - это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр). Существуют системы позиционные и непозиционные. В непозиционных...

Устойчивость систем дифференциальных уравнений
Устойчивость систем дифференциальных уравнений Курсовая работа по дисциплине  "Специальные разделы математики" Выполнил студент Новичков А. А., группа: 450 Севмашвтуз - Филиал СПбГМТУ Кафедра...

Формулы сложения вероятностей
Формулы сложения вероятностей. Из пункта 2 аксиомы, по которой вводилось определение вероятности события, следует, что если A1 и A2 несовместные события, то    P() = P(A1) + P(A2) Если A1 и A2 — совместные...

История математики
История математики Реферат подготовила: Арина 2003 год Самой древней математической деятельностью был счет. Счет был необходим, чтобы следить за поголовьем скота и вести торговлю. Некоторые первобытные...

Алгоритмы и протоколы маршрутизации
Нигде и никем ранее не сдавался ДОКЛАД На тему: «Алгоритмы и протоколы маршрутизации» Студента группы ________ _______________________ Москва 2001 1. Общие описание Основными формами каждого...

Цилиндр и конус
Цилиндр Цилиндром называется тело, которое состоит из 2 кругов, совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, сое- диняющих соотв. точки этих кругов. Круги называются осно- ванием цилиндра, а отрезки - образующими...

Виды тригонометрических уравнений
Реферат на тему: “Виды тригонометрических уравнений”                                                                              Успенского Сергея ...

Двойной интеграл
Двойной интеграл в полярных координатах Пусть в двойном интеграле (1) при обычных предположениях мы желаем перейти к полярным координатам r и f, полагая x = r cos j, ...

Матричный анализ
Курс лекций по дисциплине «Матричный анализ» для студентов II курса математического факультета специальности «Экономическая кибернетика» (лектор Дмитрук Мария Александровна) Глава 3. Функции от матриц. 1....

Газовые законы в живой природе и медицине
Газовые законы в живой природе и медицине Л.В.Логинов, многопрофильный комплекс (гимназия-лицей) N 109, г. Москва Наверное, у каждого учителя есть желание объяснить материал по-своему или рассмотреть его с позиций,...