Бесплатные Рефераты >>> Математика  



 

 

Численный расчет дифференциальных уравнений

 

Міністерство освіти України

ДАЛПУ

 

Кафедра автоматизації

технологічних процесів і приладобудування

КУРСОВА РОБОТА

з курсу “Математичне моделювання на ЕОМ”

на тему “Розв’язок диференціального рівняння

виду апу(п)+ап-1у(п-1)+…+а1у1+а0у=кх при заданих

початкових умовах з автоматичним вибором кроку

методом Ейлера”

Виконала студентка групи БА-4-97

Богданова Ольга Олександрівна

Холоденко Вероніка Миколаївна

Перевірила Заргун Валентина Василівна

1998

Блок-схема алгоритма

Блок-схема алгоритма

начало

у/=f(x,y)

y(x0)=y0

x0, x0+a

h, h/2

k:=0

xk+1/2:=xk+h/2

yk+1/2:=yk+f(xk, yk)h/2

αk:= f(xk+1/2, yk+1/2)

xk+1:=xk+h

yk+1:=yk+αkh

нет k:=n

да

x0, y0,

x1, y1…

xn, yn

конец

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И МЕТОД РЕШЕНИЯ

Решить дифференциальное уравнение у/=f(x,y) численным методом - это значит для заданной последовательности аргументов х0, х1…, хn и числа у0, не определяя функцию у=F(x), найти такие значения у1, у2,…, уn, что уi=F(xi)(i=1,2,…, n) и F(x0)=y0.

Таким образом, численные методы позволяют вместо нахождения функции

У=F(x) получить таблицу значений этой функции для заданной последовательности аргументов. Величина h=xk-xk-1 называется шагом интегрирования.

Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции у(х). Он является сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда других методов.

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

y/=f(x,y) (1)

с начальным условием

x=x0, y(x0)=y0 (2)

Требуется найти решение уравнения (1) на отрезке [а,b].

Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей и получим последовательность х0, х1, х2,…, хn, где xi=x0+ih (i=0,1,…, n), а h=(b-a)/n-шаг интегрирования.

В методе Эйлера приближенные значения у(хi)» yi вычисляются последовательно по формулам уi+hf(xi, yi) (i=0,1,2…).

При этом искомая интегральная кривая у=у(х), проходящая через точку М0(х0, у0), заменяется ломаной М0М1М2… с вершинами Мi(xi, yi) (i=0,1,2,…); каждое звено МiMi+1 этой ломаной, называемой ломаной Эйлера, имеет направление, совпадающее с направлением той интегральной кривой уравнения (1), которая проходит через точку Мi.

Если правая часть уравнения (1) в некотором прямоугольнике R{|x-x0|£ a, |y-y0|£ b}удовлетворяет условиям:


|f(x, y1)- f(x, y2)| £ N|y1-y2| (N=const),

|df/dx|=|df/dx+f(df/dy)| £ M (M=const),

то имеет место следующая оценка погрешности:

|y(xn)-yn| £ hM/2N[(1+hN)n-1], (3)

где у(хn)-значение точного решения уравнения(1) при х=хn, а уn- приближенное значение, полученное на n-ом шаге.

Формула (3) имеет в основном теоретическое применение. На практике иногда оказывается более удобным двойной просчет: сначала расчет ведется с шагом h, затем шаг дробят и повторный расчет ведется с шагом h/2. Погрешность более точного значения уn* оценивается формулой

|yn-y(xn)|» |yn*-yn|.

Метод Эйлера легко распространяется на системы дифференциальных уравнений и на дифференциальные уравнения высших порядков. Последние должны быть предварительно приведены к системе дифференциальных уравнений первого порядка.

Модифицированный метод Эйлера более точен.

Рассмотрим дифференциальное уравнение (1) y/=f(x,y)

с начальным условием y(x0)=y0. Разобьем наш участок интегрирования на n

равных частей. На малом участке [x0,x0+h]

у интегральную кривую заменим прямой

Nk/ y=y(x) линией. Получаем точку Мк(хк,ук).

Мк Мк/

yk+1

yk

хк хк1/2 xk+h=xk1 х

Через Мк проводим касательную: у=ук=f(xk,yk)(x-xk).

Делим отрезок (хк,хк1) пополам:

xNk/=xk+h/2=xk+1/2

yNk/=yk+f(xk,yk)h/2=yk+yk+1/2

Получаем точку Nk/. В этой точке строим следующую касательную:

y(xk+1/2)=f(xk+1/2, yk+1/2)=αk

Из точки Мк проводим прямую с угловым коэффициентом αк и определяем точку пересечения этой прямой с прямой Хк1. Получаем точку Мк/. В качестве ук+1 принимаем ординату точки Мк/. Тогда:

ук+1=ук+αкh

xk+1=xk+h

(4) αk=f(xk+h/2, yk+f(xk,Yk)h/2)

yk=yk-1+f(xk-1,yk-1)h

(4)-рекурентные формулы метода Эйлера.

Сначала вычисляют вспомогательные значения искомой функции ук+1/2 в точках хк+1/2, затем находят значение правой части уравнения (1) в средней точке y/k+1/2=f(xk+1/2, yk+1/2) и определяют ук+1.

Для оценки погрешности в точке хк проводят вычисления ук с шагом h, затем с шагом 2h и берут 1/3 разницы этих значений:

| ук*-у(хк)|=1/3(yk*-yk),

где у(х)-точное решение дифференциального уравнения.

Таким образом, методом Эйлера можно решать уравнения любых порядков. Например, чтобы решить уравнение второго порядка y//=f(y/,y,x) c начальными условиями y/(x0)=y/0, y(x0)=y0, выполняется замена:

y/=z

z/=f(x,y,z)

Тем самым преобразуются начальные условия: y(x0)=y0, z(x0)=z0, z0=y/0.

РЕШЕНИЕ КОНТРОЛЬНОГО ПРИМЕРА

Приведем расчет дифференциального уравнения первого, второго и третьего порядка методом Эйлера

1. Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка:

y/=2x-y

Требуется найти решение на отрезке [0,1] c шагом h=(1-0)/5=0,2

Начальные условия: у0=1;

Пользуясь рекурентными формулами (4), находим:

1). x1=0,2; х1/2=0,1; y(x1)=y(x0)+α0h; y(x1/2)=y(x0)+f(x0,y0)h/2;

f(x0,y0)=2* 0-1=-1

y(x1/2)=1-1* 0,1=0,9

α0=2* 0,1-0,9=-0,7

y1=1-0,1* 0,2=0,86

2). y(x2)=y(x1)+α1h; x2=0,2+0,2=0,4; x1+1/2=x1+h/2=0,2+0,1=0,3

y(x1+1/2)=y(x1)+f(x1,y(x1))h/2

f(x1,y1)=2* 0,2-0,86=-0,46

y(x1+1/2)=0,86-0,46* 0,1=0,814

α1=2*0,3-0,814=-0,214

y2=0,86-0,214*0,2=0,8172

3). x3=0,4+0,2=0,6; x2+1/2=x2+h/2=0,4+0,1=0,5

f(x2,y2)=2*0,4-0,8172=-0,0172

y2+1/2=0,8172-0,0172*0,1=0,81548

α2=2*0,5-0,81548=0,18452

y3=0,8172+0,18452*0,2=0,854104

4).x4=0,8; x3+1/2=x3+h/2=0,6+0,1=0,7

f(x3,y3)=2*0,6-0,854104=0,345896

y3+1/2=0,854104+0,345896*0,1=0,8886936

α3=2*0,7-0,89=0,5113064

y4=0,854104+0,5113064*0,2=0,95636528

5).x5=1; x4+1/2=0,8+0,1=0,9

f(x4,y4)=2*0,8-0,956=0,64363472

y4+1/2=0,956+0,643*0,1=1,020728752;

α4=2*0,9-1,02=0,779271248

y5=0,956+0,7792*0,2=1,11221953

2. Дано уравнение второго порядка:

y//=2x-y+y/

Находим решение на том же отрезке [0,1] c шагом h=0,2;

Замена: y/=z

z/=2x-y+z

Начальные условия: у0=1

z0=1

1).x1=0,2; x1/2=0,1

y(z1)=y(z0)+α0h z(x1,y1)=z(x0,y0)+β0h

y(z1/2)=y(z0)+f(z0,y0)h/2 z(x1/2,y1/2)=z(x0,y0)+f(x0,y0,z0)h/2

f(z0,y0)=f10=1 f(x0,y0,z0)=f20=2*0-1+1=0

y1/2=1+1*0,1=1,1 z1/2=1+0*0,1=1

α0=z0=1 β0=2*0,1-1,1+1=0,1

y1=1+0,2*1=1,2 z1=1+0,2*0,1=1,02

2).x2+0,4; x1+1/2=0,3

f11=z1=1,02 f21=2*0,2-1,2+1,02=0,22

y1+1/2=1,2+1,02*0,1=1,1 z1+1/2=1,02+0,22*0,1=1,042

α1=z1+1/2=1,042 β1=2*0,3-1,302+1,042=0,34

y2=1,2+1,042*0,2=1,4084 z2=1.02+0,34*0,2=1,088

3).x3=0,6; x2+1/2=0,5

f12=z2=1,088 f22=2*0,4-1,4084+1,088=0,4796

y2+1/2=1,4084+1,088*0,1=1,5172 z2+1/2=1,088+0,4796*0,1=1,13596

α2=z2+1/2=1,13596 β2=2*0,5-1,5172+1,13596=0,61876

y3=1,4084+1,136*0,2=1,635592 z3=1,088+0,61876*0,2=1,211752

4).x4=0,8; x3+1/2=0,7

f13=z3=1,211752 f23=2*0,6-1,636+1,212=0,77616

y3+1/2=1,636+1,212*0,1=1,7567672 z3+1/2=1,212+0,776*0,1=1,289368

α3=z3+1/2=1,289368 β3=2*0,7-1,7568+1,289=0,9326008

y4=1,6+1,289*0,2=1,8934656 z4=1,212+0,93*0,2=1,39827216

5).x5=1; y4+1/2=0,9

f14=z4=1,39827216 f24=2*0,8-1,893+1,398=1,10480656

y4+1/2=1,893+1,398*0,1=2,0332928 z4+1/2=1,398+1,105*0,1=1,508752816

α4=z4+1/2=1,508752816 β4=2*0,9-2,03+1,5=1,27546

y5=1,893+1,5*0,2=2,195216163 z5=1,398+1,275*0,2=1,65336416

 

3. Чтобы решить уравнение третьего порядка

y///=2x-y-y/+y//

на отрезке [0,1], с шагом h=0,2 и начальными условиями

y0//=1

y0/=1

y0=1

необходимо сделать 3 замены: y/=a y0/=a0=1

y//=a/=b y0//=b0=1

b/=2x-y-a+b

1).x1=0,2; x1/2=0,1

y(a1)=y(a0)+a0h y(a1/2)=y(a0)+f10h/2

a(b1)=a(b0)+β0h a(b1/2)=a(b0)+f20h/2

b(x1,y1,a1)=b(x0,y0,a0)+γ0h b(x1/2,y1/2,a1/2)=b(x0,y0,a0)+f30h/2

f10=f(a0,y(a0))=1 y1/2=1+1*0,1=1,1

f20=f(b0,a(b0))=1 a1/2=1+1*0,1=1,1

f30=f(x0,y0,a0,b0)=-1 b1/2=1-1*0,1=0,9

α0=a1/2=1,1 y(a1)=1+1,1*0,2=1,22

β0=b1/2=0,9 a(b1)=1+0,9*0,2=1,18

γ0=2*0,1-1,1-1,1+0,9=-1,1 b(x1,y1,a1)=1-1,1*0,2=0,78

2).x2=0,4; x1+1/2=x1+h/2=0,3

f11=a1=1,18 y1+1/2=1,22+1,18*0,1=1.338

f21=b1=0,78 a1+1/2=1,18+0,78*0,1=1,258

f31=2*0,2-1,22-1,18+0,78=-1,22 b1+1/2=-1,22*0,1+0,78=0,658

α1=a1+1/2=1,258 y2=1,22+1,258*0,2=1,4716

β1=b1+1/2=0,658 a2=1,18+0,658*0,2=1,3116

γ1=2*0,3-1,338-1,258+0,658=-1,338 b2=0,78-1,338*0,2=0,5124

3).x3=0,6; x2+1/2=0,5

f12=a2=1,3116 y2+1/2=1,47+1,3*0,1=1,60276

f22=b2=0,5124 a2+1/2=1,3116+0,5*0,1=1.36284

f32=2*0,4-1,47-1,31+0,512=-1,4708 b2+1/2=0,4-1,4*0,1=0,36542

α2=1,36284 y3=1,4716+1,3116*0,2=1,744168

β2=0,36542 a3=1,3116+0,3654*0,2=1,384664

γ2=2*0,5-1,6-1,36+0,365=-1,60018 b3= 0,51-1,60018*0,2=0,192364

4).x4=0,8; x3+1/2=0,7

f13=1,384664 y3+1/2=1,74+1,38*0,1=1,8826364

f23=0,192364 a3+1/2=1,38+0,19*0,1=1,4039204

f33=2*0,6-1,7-1,38+0,19=-1,736488 b3+1/2=0,19-1,7*0,1=0,0187152

α3=1,4039204 y4=1,74+1,4*0,2=2,0249477

β3=0,0187152 a4=1,38+0,9187*0,2=1,388403

γ3=2*0,7-1,88-1,4+0,0187=-1,8678416 b4=0,192-1,87*0,2=-0,1812235

5).x4=1; x4+1/2=0,9

f14=1,388403 y4+1/2=2,02+1,388*0,1=2,16379478

f24=-0,1812235 a4+1/2=1,4-0.181*0,1=1,370306608

f34=2*0,8-2,02-1,388-0,18=-1,9945834 b4+1/2=-0,18-1,99*0,1=-0,38066266

α4=1,3703 y5=2,02+1,37*0,2=2,2990038

β4=-0,38066 a5=1,388-0,38*0,2=1,3122669

γ4=2*0,9-2,16-1,37-0,38=-2,114764056 b5=-0,181-2,1*0,2=-0,6041734

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Программа на Turbo Pascal

 

uses crt,pram,kurs1_1;

var

yx,xy,l,v,p,ff,ay,by,x:array [0..10] of real;

y,a,b:array[0..10,0..1] of real;

i,n,o:integer;

c,d,h,k:real;

label

lap1;

begin

screen1;

clrscr;

writeln('введите наивысший порядок производной не больше трех ');

readln(n);

if n=0 then begin

writeln('это прямолинейная зависимость и решается без метода Эйлера ');

goto lap1;end;

writeln('введите коэффициенты {a0,a1}');

for i:=0 to n do

readln(l[i]);

if (n=1) and (l[1]=0) or (n=2) and (l[2]=0) or (n=3) and (l[3]=0) then begin

writeln('деление на ноль');

goto lap1;

end;

writeln('введите коэффициент при x');

readln(k);

writeln('введите отрезок ');

readln(c,d);

o:=5;

h:=abs(d-c)/o;

writeln('шаг=',h:1:1);

writeln('задайте начальные условия y(x)= ');

for i:=0 to n-1 do

readln(v[i]);

if n=3 then begin

yx[0]:=v[0];

ay[0]:=v[1];

by[0]:=v[2];

p[0]:=(k*c-l[0]*v[0]-l[1]*v[1]-l[2]*v[2])/l[3];

x[0]:=c;

gotoxy(32,1);

write(' ');

gotoxy(32,2);

write(' x y a b ');

gotoxy(32,3);

write(' ',c:7:7,' ',yx[0]:7:7,' ',ay[0]:7:7,' ',by[0]:7:7,' ');

for i:=0 to o-1 do begin

x[i]:=x[i]+h/2;

y[i,1]:=yx[i]+(h/2)*ay[i];

 

 

 

 

a[i,1]:=ay[i]+(h/2)*by[i];

b[i,1]:=by[i]+(h/2)*p[i];

ff[i]:=(k*x[i]-l[0]*y[i,1]-l[1]*a[i,1]-l[2]*b[i,1])/l[3];

xy[i]:=x[i]+h/2;

yx[i+1]:=yx[i]+h*a[i,1];

ay[i+1]:=ay[i]+h*b[i,1];

by[i+1]:=by[i]+h*ff[i];

x[i+1]:=x[i]+h/2;

p[i+1]:=(k*xy[i]-l[0]*yx[i+1]-l[1]*ay[i+1]-l[2]*by[i+1])/l[3];

end;

for i:=0 to o-1 do begin

gotoxy(32,4+i);

write(' ',xy[i]:7:7,' ',yx[i+1]:7:7,' ',ay[i+1]:7:7,' ',by[i+1]:7:7,' ');

end;

gotoxy(32,4+o);

write(' ');

end;

if n=2 then begin

x[0]:=c;

yx[0]:=v[0];

ay[0]:=v[1];

p[0]:=(k*c-l[0]*yx[0]-l[1]*v[1])/l[2];

gotoxy(32,1);

write(' ');

gotoxy(32,2);

write(' x y a ');

gotoxy(32,3);

write(' ',c:7:7,' ',yx[0]:7:7,' ',ay[0]:7:7,' ');

for i:=0 to o-1 do begin

x[i]:=x[i]+h/2;

y[i,1]:=yx[i]+(h/2)*ay[i];

a[i,1]:=ay[i]+(h/2)*p[i];

ff[i]:=(k*x[i]-l[0]*y[i,1]-l[1]*a[i,1])/l[2];

xy[i]:=x[i]+h/2;

yx[i+1]:=yx[i]+h*a[i,1];

ay[i+1]:=ay[i]+h*ff[i];

x[i+1]:=x[i]+h/2;

p[i+1]:=(k*xy[i]-l[0]*yx[i+1]-l[1]*ay[i+1])/l[2];

end;

for i:=0 to o-1 do begin

gotoxy(32,4+i);

write(' ',xy[i]:7:7,' ',yx[i+1]:7:7,' ',ay[I+1]:7:7,' ');

end;

gotoxy(32,4+o);

write(' ');

end;

if n=1 then begin

x[0]:=c;

yx[0]:=v[0];

p[0]:=(k*x[0]-l[0]*yx[0])/l[1];

for i:=0 to o-1 do begin

x[i]:=x[i]+h/2;

y[i,1]:=yx[i]+(h/2)*p[i];

xy[i]:=x[i]+h/2;

 

 

 

ff[i]:=(k*x[i]-l[0]*y[i,1])/l[1];

yx[i+1]:=yx[i]+h*ff[i];

x[i+1]:=x[i]+h/2;

p[i+1]:=(k*xy[i]-l[0]*yx[i+1])/l[1];

end;

gotoxy(32,1);

write(' ');

gotoxy(32,2);

write(' x y ');

gotoxy(32,3);

write(' ',c:7:7,' ',yx[0]:7:7,' ');

for i:=0 to o-1 do begin

gotoxy(32,4+i);

write(' ',xy[i]:7:7,' ',yx[i+1]:7:7,' ');

end;

gotoxy(32,o+4);

write(' ');

end;

lap1:readln;

pramo;

delay(10000);

clrscr;

end.

 

 

 

 

 

 

 



ЗАПУСК ПРОГРАММЫ НА ВЫПОЛНЕНИЕ

Программа находится в файле kursova1.pas, и имеет 2 модуля, в которых содержатся заставки. Модули находятся в файлах pram.tpu и kurs1_1.tpu.

Для запуска файла kursova1.pas в Turbo Pascal необходимо нажать F9. Появится первая заставка, далее нажать enter и ввести все необходимые начальные условия: порядок производной, коэффициенты при членах рада, отрезок и начальные значения у(х0). На экране выводится шаг вычисления и таблица с ответами. После нажатия enter выводится вторая заставка, после чего мы возвращаемся к тексту программы.

 

 

 

 

 

ОПИСАНИЕ ПРОГРАММЫ

1 – ввод данных, используемых в программе

2 – использование метки, очистка экрана, ввод требований, решение

дифференциального уравнения в зависимости от ввода начальных

условий

3 – присвоение начальных условий для дифференциального уравнения

третьего порядка

4 – вывод таблицы со значениями

5 – ввод формул метода Эйлера для уравнения третьего порядка

6 – присвоение начальных условий для решения дифференциального

уравнения второго порядка

7 – вывод таблицы для уравнения второго порядка

8 – формулы метода Эйлера для уравнения второго порядка

9 – начальные условия для дифференциального уравнения первого порядка

10 – формулы метода Эйлера для решения уравнения первого порядка

11 – вывод таблицы

12 – обращение к метке, задержка для просмотра результатов, очистка

экрана, конец программы.


 


 

Динамические объекты
ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ Объектные переменные вo многом подобны обычным переменным Турбо Паскаля, в частности, их можно размещать в динамической памяти. Турбо Паскаль содержит средства, облегчающие размещение объектных переменных...

Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике
Гимназия №1 города Полярные Зори Алгебра, геометрия, физика. Научная работа ТЕМА "ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ В АЛГЕБРЕ, ГЕОМЕТРИИ, ФИЗИКЕ”. Руководители: Полуэктова Наталья Павловна, преподаватель алгебры,...

Матрицы, Метод Гаусса
16 КОСТРОМСКОЙ ФИЛИАЛ ВОЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА РХБ ЗАЩИТЫ Кафедра «Автоматизации управления войсками» Только для преподавателей ...

Контрольная работа по линейной алгебре
[pic]|№ |Оглавление |Страница | |1 |Задание № 1 (а); (б) (выполнить действия) |3 | |2 |Задание № 2 (а); (б) (вычислить определитель) |3 | |3 |Задание № 3 (решить систему методом Гаусса) |4 | |4 |Задание № 4 (а) (найти...

Цилиндр и конус
Цилиндр Цилиндром называется тело, которое состоит из 2 кругов, совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, сое- диняющих соотв. точки этих кругов. Круги называются осно- ванием цилиндра, а отрезки - образующими...

Собственные значения
Собственные значения 1. ВВЕДЕНИЕ Целый ряд инженерных задач сводится к рассмотрению систем уравнений, имеющих единственное решение лишь в том случае, если известно значение некоторого входящего в них параметра. Этот особый параметр...

Единое электродинамическое поле и его распространение в виде плоских волн
Единое электродинамическое поле и его распространение в виде плоских волн Сидоренков В.В., МГТУ им. Н.Э. Баумана Рассматриваются структура и характеристики распространения векторного четырехкомпонентного единого...

Кривизна плоской кривой. Эволюта и эвольвента
Кривизна плоской кривой. Эволюта и эвольвента Реферат по математическому анализу выполнил:  студент  МГТУ им. Баумана группа Э2 –11 Тимофеев Дмитрий Москва 2004. Введение Для более полного...

Двойственная природа микрочастиц модели атома Бора
Двойственная природа микрочастиц модели атома Бора Реферат по концепции современного естествознания выполнила студентка 1 курса Колпакова Ксения Евгеньевна Московский гуманитарно-экономический институт ...

Матожидание, дисперсия, мода и медиана
Математическое ожидание и его свойства. Одной из важных числовых характеристик случайной величины является математическое ожидание. Введем понятие системы случайных величин. Рассмотрим совокупность случайных величин [pic], которые...

Сверхпроводимость
Сверхпроводимость Академик А.А.Абрикосов Явление сверхпроводимости было открыто голландским физиком Камерлинг-Оннесом в 1911 году. Камерлинг-Оннесу первому удалось получить жидкий гелий, и он использовал его для...