Бесплатные Рефераты >>> Наука и техника  



 

 

Метод решения уравнений Ньютона - Рафсона

 

Метод решения уравнений Ньютона - Рафсона

Метод Ньютона-Рафсона, также известный как Метод Ньютона, представляет собой обобщенный метод поиска корня уравнения

 

(1)

Примем x = xj в качестве j-го приближения к корню уравнения (1). Предположим, что xj не является решением. Следовательно, . Предположим также, что мы получили разложение в ряд Тейлора для уравнения (1) относительно точки x = xj:

(2)

Если примем в качестве следующего члена x = xj+1, то уравнение (2) будет иметь вид:

(3)

Теперь предположим, что справедливо необязательное допущение того, что предыдущее приближение xj было удовлетворительным, так что xj+1 - xj мало. Если это предположение верно, мы можем пренебречь членами более высокого порядка в уравнении (3), так как n-я степень малой величины значительно меньше, чем малая величина для n>=2. В этом случае уравнение (3) может быть аппроксимировано следующим образом:

(4)

Нашей целью является выбор такого xj+1, чтобы оно стало решением уравнения (1). Следовательно, если наше предыдущее предположение справедливо, xj+1 должно быть выбрано таким, что. Приравняв уравнение (4) к нулю и решив относительно xj+1, получим:

(5)

Уравнение (5) называется уравнением Ньютона - Рафсона. Если наше предположение, приведшее к выводу уравнения (5), справедливо, этот алгоритм будет сходящимся, но только в том случае, если точка начального приближения достаточно близка к точке решения. Геометрическая интерпретация сходящегося метода Ньютона - Рафсона приведена на рис. 1а.

а) метод сходится

б) метод не сходится

Рис.1. Геометрическая интерпретация метода Ньютона - Рафсона

Однако, если точка начального приближения далека от точки решения, то метод Ньютона - Рафсона может не сходиться совсем. Геометрическая интерпретация не сходящегося метода Ньютона - Рафсона приведена на рис. 1б.

Алгоритм

Назначение: поиск решения уравнения (1)

Вход:

   Начальное приближение x0

   Точность (число итераций I)

Выход:

   xI - решение уравнения (1)

Инициализация:

   calculate f’(x0)

Шаги:

1.     repeat:

2.            calculate xi using (5)

3.            let i=i+1

4.            if i>I then break the cycle

       end of repeat

Модификация алгоритма Ньютона для решения системы нескольких уравнений заключается в линеаризации соответствующих функций многих переменных, т. е. аппроксимации их линейной зависимостью с помощью частных производных. Например, для нулевой итерации в случае системы двух уравнений:

Чтобы отыскать точку, соответствующую каждой новой итерации, требуется приравнять оба равенства нулю, т.е. решить на каждом шаге полученную систему линейных уравнений.

Список литературы

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.xaoc.ru/


 


 

Проектирование фасонного резца
Проектирование фасонного резца Исходные данные: Тип резца - круглый, внутренний Материал детали - сталь 12ХМФ Определение конструктивных элементов резца. Габаритные размеры и размеры элементов крепления...

Новые физические законы
Новые физические законы Аруцев Александр Артемьевич, Ермолаев Борис Валерьевич, Кутателадзе Ираклий Отарович, Слуцкий Михаил Семенович "Если нам действительно удастся построить всеобъемлющую физическую теорию, то со...

Первый отечественный физик – продолжатель трудов Максвелла и Герца
Первый отечественный физик – продолжатель трудов Максвелла и Герца Ян Шнейберг П. Н. Лебедев наряду с М. В. Ломоносовым  одна из замечательных фигур  истории русской физики. Академик С. И. Вавилов,  президент АН...

Схемотехника основных блоков радиопередающего устройства
25 Содержание Реферат 1. Разработка структурной схемы передатчика 2. Общие сведения об автогенераторах 2.1....

Технология изготовления древесно стружечных плит
смотреть на рефераты похожие на "Технология изготовления древесно стружечных плит "Министерство образования Российской Федерации Брянская государственная инженерно – технологическая академия (БГИТА) кафедра...

Выбор допусков и посадок на гладкие элементы деталей машиностроительных узлов
Министерство образования и науки Украины Национальный технический университет «Харьковский политехнический институт» Кафедра резания материалов и...

Оценка качества труда
Оценка качества труда Задание – Провести оценку качества труда на примере работы функциональных и линейных органов организации с использованием комплексного показателя- индекса дефектности. Содержание работы. Для расчета индекса...

Эволюция представлений о пространстве
Эволюция представлений о пространстве Раньше Миро[мифо]воззренческие представления, относящиеся к пространству, скорее конструируют пространство, нежели отражают его. Мифологическая система мира наследует...

Цифровые фильтры
Цифровые фильтры А. Т. Бизин Сибирская Государственная Академия телекоммуникаций и информатики Новосибирск 1998 г. Цифровая система обработки сигналов Обработка дискретных сигналов...

Нанотехнології
10 Реферат Нанотехнології План 1.Нанотехнології - революція...

Новые информационные системы и технологии
1 5 Оглавление Введение 3 1. Основные понятия и определения 5 2. Человек и информационное общество 10 3. Информационные технологии 21 века: на пороге революции 17 ...