Бесплатные Рефераты >>> Математика  



 

  y = r sin j. (2)

Область интегрирования S разобьем на элементарные ячейки DSi с помощью координатных линий r = ri (окружности) и j = ji (лучи) (рис.1).

Введем обозначения:


Drj = rj+1 - rj,
Dji = ji+1 - ji

Так как окружность перпендикулярна (ортогональна) радиусам, то внутренние ячейки DSi с точностью до бесконечно малых высшего порядка

малости относительно их площади можно рассматривать как прямоугольники с измерениями rjDji и Drj; поэтому площадь каждой такой ячейки будет равна:

DSi = rj Dji Drj        (3)

Что касается ячеек DSij неправильной формы, примыкающих к границе Г области интегрирования S, то эти ячейки не повлияют на значение двойного интеграла и мы их будем игнорировать.

В качестве точки Mij $ Sij для простоты выберем вершину ячейки DSij с полярными координатами rj и ji. Тогда декартовые координаты точки Mij равны:

xij = rj cos ji, yij = rj sin ji.

И следовательно,

 

Двойной интеграл

 
Двойной интеграл в полярных координатах

Пусть в двойном интеграле

(1)

при обычных предположениях мы желаем перейти к полярным координатам r и f, полагая

x = r cos j,

f(xij,yij) = f(rj cos ji, rj sin ji) (3')

Двойной интеграл (1) представляет собой предел двумерной интегральной суммы, причем можно показать, что на значение этого предела не влияют добавки к слагаемым

интегральной суммы, являющиеся бесконечно малыми высшего порядка малости, поэтому учитывая формулы (3) и (3'), получаем:

        (4)

где d - максимальный диаметр ячеек DSij и сумма распространена на все ячейки указанного выше вида, целиком содержащиеся в области S. С другой стороны, величины ji и rj суть числа и их можно рассматривать как прямоугольные декартовые координаты некоторых точек плоскости Ojr. Таким образом, сумма (4) является интегральной суммой для функции

f(r cosj, r sinj)r,

соответствующая прямоугольной сетке с линейными элементами Dji и Dri. Следовательно

        (5)

Сравнивая формулы (4) и (5), получим окончательно

        (6)

Выражение

dS = r dj dr

называется двумерным элементом площади в полярных координатах. Итак, чтобы в двойном интеграле (1) перейти к полярным координатам, достаточно координаты x и y заменить по формулам (2), а вместо элемента площади dS подставить выражение (7).

        

Для вычисления двойного интеграла (6) его нужно заменить повторным. Пусть область интегрирования S определяется неравенствами

Где r1(j), r1(j) - однозначные непрерывные функции на отрезке [a,b]. (рис 2).

Имеем


        (8)


Где

F(r,j) = rf(r cosj, r sinj)

Пример 1.

Переходя к полярным координатам j и r, вычислить двойной интеграл

Где S - первая четверть круга радиуса R=1, с центром в точке О(0,0) (рис 3).

Так как

то применяя формулу (6),

получим

Область S определена

Неравенствами

Поэтому на основании формулы (8) имеем


Пример 2.

В интеграле

        (9)

перейти к полярным координатам.


Область интегрирования здесь есть треугольник S, ограниченный прямыми y=0, y=x, x=1 (рис 4).

В полярных координатах уравнения

этих прямых записываются

следующим образом: j=0,

j=p/4, r cosj=1 и,

следовательно, область S

определяется неравенствами

Отсюда на основании формул

(6) и(8), учитывая, что

имеем



 



 

Кривизна плоской кривой. Эволюта и эвольвента
Кривизна плоской кривой. Эволюта и эвольвента Реферат по математическому анализу выполнил:  студент  МГТУ им. Баумана группа Э2 –11 Тимофеев Дмитрий Москва 2004. Введение Для более полного...

Физический смысл гравитации
Физический смысл гравитации Юрий Солоневич Аннотация: Гравитационное поле в Теории Симметричных Процессов рассматривается, как вихревое, замкнутое (завершённое) электромагнитное поле ядра явления. Под ...

Метод изображений в электростатике
Метод изображений в электростатике О. В. Инишева Bведение Задачи о нахождении электрического поля системы нескольких точечных зарядов или системы зарядов, равномерно распределенным по каким-либо поверхностям,...

Теория игр и принятие решений
Теория игр и принятие решений. В зависимости от условий внешней среды и степени информативности лица принимающего решение (ЛПР) производится следующая классификация задач принятия решений: а) в условиях риска; б) в условиях...

О причине необратимости времени
О причине необратимости времени Марк Алескер Иногда полагают, что “роковое стечение обстоятельств создает необратимость времени”, иначе говоря, время течет в одном направлении от прошлого к будущему потому, что в мире...

Иррациональные уравнения
Иррациональные уравнения ВВЕДЕНИЕ В школьном курсе алгебры рассматриваются различные виды уравнений – линейные, квадратные, биквадратные, кубические, рациональные, с параметрами, иррациональные и другие. Данная...

Пирамида и призма
Общий исторический обзор Первые геометрические понятия возникли в доисторические времена. Разные формы материальных тел наблюдал человек в природе: формы растений и животных, гор и извилин рек, круга и серпа Луны и т. п. Однако...

Теория устойчивости
Введение Одной из основных задач теории автоматического регулирования является изучение динамических процессов, происходящих в автоматических системах. Автоматические системы при нормальной эксплуатации должны поддерживать...

Математическое моделирование прыжка с трамплина
Министерство Общего и Профессионального Образования РФ Пермский государственный технический университет Кафедра математического моделирования систем и процессов ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА к выпускной работе на степень бакалавра...

Формулы сложения вероятностей
Формулы сложения вероятностей. Из пункта 2 аксиомы, по которой вводилось определение вероятности события, следует, что если A1 и A2 несовместные события, то    P() = P(A1) + P(A2) Если A1 и A2 — совместные...

Контрольная по статистике
3 ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ЖИЛИЩНО-КОМУНАЛЬНОГО ХОЗЯЙСТВА Донецкий институт городского хозяйства Контрольная работа по...