Бесплатные Рефераты >>> Математика  



 

 

Метризуемость топологических пространств

 

24

Министерство образования и науки Российской Федерации

Вятский государственный гуманитарный университет

Математический факультет

Кафедра математического анализа и МПМ

Дипломная работа

Метризуемость топологических пространств

Выполнила

студентка 5 курса

математического факультета

Побединская Татьяна Викторовна

_______________________________

(подпись)

Научный руководитель

к.ф.-м.н., доцент кафедры математического анализа и МПМ Варанкина Вера Ивановна

_______________________________

(подпись)

Рецензент

_______________________________

(подпись)

Допущена к защите в ГАК

Зав. кафедрой______________________________к.п.н., доцент Крутихина М.В.

(подпись)

«_____» _______________2004 г.

Декан факультета_________________________к.ф.-м.н., доцент Варанкина В.И.

(подпись)

«_____» _______________2004 г.

КИРОВ

2004

Содержание

Введение 3 Глава I. Основные понятия и теоремы 4 Глава II. Свойства метризуемых пространств 10 Глава III. Примеры метризуемых и неметризуемых пространств 21 Библиографический список 24 Введение Тема дипломной работы - «Метризуемость топологических пространств». В первой главе работы вводятся основные определения, связанные с понятиями метрического и топологического пространств. Во второй главе рассматриваются и доказываются следующие свойства метризуемых пространств: 1. Метризуемое пространство хаусдорфово. 2. Метризуемое пространство нормально. 3. В метризуемом пространстве выполняется первая аксиома счетности. 4. Метризуемое пространство совершенно нормально. 5. Для метризуемого пространства следующие условия эквивалентны: 1) сепарабельно, 2) имеет счетную базу, 3) финально компактно. 6. Любое метризуемое топологическое пространство может быть метризовано ограниченной метрикой. 7. Произведение счетного числа метризуемых пространств метризуемо. В третьей главе рассматриваются примеры метризуемых и неметризуемых пространств. Глава I. Основные понятия и теоремы Определение. Метрическим пространством называется пара , состоящая из некоторого множества (пространства) элементов (точек) и расстояния, то есть однозначной неотрицательной действительной функции , определенной для любых и из и удовлетворяющей трем условиям: 1) (аксиома тождества); 2) (аксиома симметрии); 3) (аксиома треугольника). Определение. Пусть - некоторое множество. Топологией в называется любая система его подмножеств , удовлетворяющая двум требованиям: 1. Само множество и пустое множество принадлежат . 2. Объединение любого (конечного или бесконечного) и пересечение любого конечного числа множеств из принадлежат . Множество с заданной в нем топологией , то есть пара , называется топологическим пространством. Множества, принадлежащие системе , называются открытыми. Множества , дополнительные к открытым, называются замкнутыми множествами топологического пространства . Определение. Совокупность открытых множеств топологического пространства называется базой топологического пространства , если всякое открытое множество в может быть представлено как объединение некоторого числа множеств из . Теорема 1. Всякая база в топологическом пространстве обладает следующими двумя свойствами: 1) любая точка содержится хотя бы в одном ; 2) если содержится в пересечении двух множеств и из , то существует такое , что . Определение. Открытым шаром или окрестностью точки радиуса в метрическом пространстве называется совокупность точек , удовлетворяющих условию . При этом - центр шара, - радиус шара. Утверждение 1. Для любого , принадлежащего -окрестности точки , существует окрестность радиуса , включенная в -окрестность точки . Доказательство. Выберем в качестве :. Достаточно доказать для произвольного импликацию . Действительно, если , то Получаем, что , что и требовалось доказать. Теорема 2. Совокупность всех открытых шаров образуют базу некоторой топологии. Доказательство. Проверим свойства базы (теорема 1). · Свойство первое очевидно, так как для любого выполняется для любого . · Проверим второе свойство. Пусть , и , тогда, воспользовавшись утверждением 1, найдем такое , что Теорема доказана. Определение. Топологическое пространство метризуемо, если существует такая метрика на множестве , что порожденная этой метрикой топология совпадает с исходной топологией пространства . Аксиомы отделимости Аксиома . Для любых двух различных точек топологического пространства окрестность хотя бы одной из них не содержит другую. Аксиома . Каждая из двух произвольных точек пространства имеет окрестность, не содержащую вторую точку. Предложение. является - пространством тогда и только тогда, когда для любого множество замкнуто. Доказательство. Необходимость. Пусть . Так как является -пространством, то существует окрестность , не содержащая . Рассмотрим Докажем, что . Применим метод двойного включения: · Очевидно, что по построению множества . · . Пусть отсюда для любого отличного от существует окрестность , значит , тогда . Множество - открыто, как объединение открытых множеств. Тогда множество - замкнуто, как дополнение открытого множества. Достаточность. Рассмотрим . По условию замкнутые множества. Так как , то . Множество -открыто как дополнение замкнутого и не содержит . Аналогично доказывается существование окрестности точки , не содержащей точку Что и требовалось доказать. Аксиома ( аксиома Хаусдорфа). Любые две точки пространства имеют непересекающиеся окрестности. Аксиома . Любая точка и не содержащее ее замкнутое множество имеют непересекающиеся окрестности. Определение. Пространства, удовлетворяющие аксиомам () называются -пространствами (-пространства называют также хаусдорфовыми пространствами). Определение. Пространство называется нормальным или -пространством, если оно удовлетворяет аксиоме , и всякие его два непустые непересекающиеся замкнутые множества имеют непересекающиеся окрестности. Определение. Система окрестностей называется определяющей системой окрестностей точки , если для любой окрестности точки найдется окрестность из этой системы, содержащаяся в . Определение. Если точка топологического пространства имеет счетную определяющую систему окрестностей, то говорят, что в этой точке выполняется первая аксиома счетности. Если это верно для каждой точки пространства, то пространство называется пространством с первой аксиомой счетности. Определение. Две метрики и на множестве называются эквивалентными, если они порождают на нем одну и ту же топологию. Пример. На плоскости для точек и определим расстояние тремя различными способами: 1. , 2. , 3. . · Введенные расстояния являются метриками. Проверим выполнимость аксиом метрики для введенных расстояний. 1. 1) 2) так как и , то вторая аксиома очевидна: 3) рассмотрим точки ,, и докажем следующее неравенство: Возведем это неравенство в квадрат: . Так как и (поскольку ) и выражение есть величина неотрицательная, то неравенство является верным. 2. 1) 2) так как и , то вторая аксиома очевидна: . 3) рассмотрим точки ,, и докажем следующее неравенство: . Тогда и . 3. 1) 2) так как и , то вторая аксиома очевидна: . 3) рассмотрим точки ,,. Неравенство: - очевидно. · Введенные метрики и эквивалентны, то есть задают одну и ту же топологию. Пусть метрика порождает топологию , - топологию и - топологию . Достаточно показать два равенства. Покажем, что . Рассмотрим множество, открытое в и покажем, что открыто в . Возьмем некоторую точку и изобразим шар с центром в этой точке, который целиком лежит в . Шар в - квадрат, шар в - круг. А квадрат всегда можно заключить в круг. Тогда открыто и в . Аналогично доказывается, что . А тогда и . Глава II. Свойства метризуемых пространств Свойство 1. Метризуемое пространство хаусдорфово. Доказательство. Пусть . Возьмем . Докажем, что . Предположим, что , тогда существует , т.е. и . Тогда, . Получили противоречие. Следовательно, . Следствие. Метризуемое пространство является - пространством. Определение. Расстоянием от точки до множества в метрическом пространстве называется . Утверждение 2. Пусть множество фиксировано; тогда функция , сопоставляющая каждой точке расстояние , непрерывна на пространстве . Доказательство. Воспользуемся определением непрерывности: функция называется непрерывной в точке , если . Из неравенства , где , получаем . Аналогично . Из полученных неравенств следует . Для произвольного возьмем . Тогда из неравенства следует . Непрерывность доказана. Лемма. - замкнутое множество в метрическом пространстве . Для любого расстояние от до множества положительно. Доказательство. Множество замкнуто, отсюда следует, что множество - открыто. Так как точка принадлежит открытому множеству , то существует такое, что . Так как , то для некоторого . Поэтому для любого . Следовательно, , что и требовалось доказать. Свойство 2. Метризуемое пространство нормально. Доказательство. По доказанному метризуемое пространство является -пространством. Остается доказать, что любые непустые непересекающиеся замкнутые множества и имеют непересекающиеся окрестности. Так как и множество замкнуто по условию, то для любого по лемме . Обозначим и для произвольных и . Множества и открыты как объединения открытых шаров в и содержат соответственно множества и . Следовательно, - окрестность множества , - окрестность множества . Докажем, что . Предположим, что , то есть . Тогда из условия следует, что для некоторого . Отсюда . Аналогично получаем для некоторого . Для определенности пусть . Тогда . Получаем , для некоторой точки , что невозможно в силу определения расстояния от точки до множества. Следовательно . Таким образом, является -пространством, а, значит, нормальным пространством. Теорема доказана. Свойство 3. В метризуемом пространстве выполняется первая аксиома счетности. Доказательство. Пусть - произвольное открытое множество, содержащее точку . Так как открытые шары образуют базу топологии метрического пространства, то содержится в вместе с некоторым открытым шаром, то есть для некоторых и . По утверждению 1 найдется такое , что . Возьмем , для которого . Тогда . Таким образом открытые шары , образуют определяющую систему окрестностей точки . Очевидно, что множество этих окрестностей счетно. Что и требовалось доказать. Определение. Множеством типа или просто - множеством пространства называется всякое множество , являющееся объединением счетного числа замкнутых (в ) множеств. Определение. Множеством типа или просто - множеством пространства называется всякое множество , являющееся пересечением счетного числа открытых (в ) множеств. Очевидно, что множества типа и являются взаимно дополнительными друг для друга. Определение. Нормальное пространство, в котором всякое замкнутое множество является множеством типа , называется совершенно нормальным. Утверждение 3. Нормальное пространство является совершенно нормальным тогда и только тогда, когда всякое открытое множество, принадлежащее этому пространству, является множеством типа . Свойство 4. Метризуемое пространство совершенно нормально. Доказательство. Пусть - непустое замкнутое множество в . Тогда для непрерывной функции (непрерывность ее установлена в утверждении 2). Обозначим , множества открыты в как прообразы открытых множеств при непрерывном отображении. Докажем, что . Пусть , тогда . Так как для любого , то для любого . Отсюда . Обратно. Пусть , тогда для любого . Отсюда для любого , поэтому для любого , тогда , значит . Таким образом множество является множеством типа . Определение. Множество всюду плотно в , если любое непустое открытое в множество содержит точки из . Определение. Топологическое пространство называется сепарабельным, если оно имеет счетное всюду плотное подмножество. Определение. Семейство г открытых в множеств образуют покрытие пространства , если содержится в объединении множеств этого семейства. Определение. Топологическое пространство называется финально компактным, если из любого его открытого покрытия можно выделить счетное подпокрытие. Свойство 5. Для метризуемого пространства следующие условия эквивалентны: 1) сепарабельно, 2) имеет счетную базу, 3) финально компактно. Доказательство. Пусть - счетное всюду плотное множество в , - метрика в . Множество окрестностей счетно. Докажем, что - база топологии в . Пусть - произвольное открытое в множество, . Тогда для некоторого . Рассмотрим рациональное число , для которого и точку , для которой . Докажем, что . Пусть . Так как , то . Тогда . Таким образом, для произвольного и открытого множества нашелся элемент из , такой, что . Следовательно - база топологии. Пусть - счетная база в . Рассмотрим произвольное открытое покрытие множества , - открыты для любого (- индексное множество). Для любого существует , для которого . Так как - база, то найдется такое , что . Тогда . Поскольку база счетна, то покрывается счетным числом соответствующих множеств . Таким образом, - финально компактно. Для каждой точки рассмотрим окрестности , которые образуют покрытие пространства . В силу финальной компактности из этого покрытия можно выделить счетное подпокрытие . В каждом из этих множеств выберем точку . Множество точек счетно, докажем, что оно плотно в . Пусть - произвольное открытое множество в , , тогда для некоторого . Существует элемент подпокрытия . Тогда , то есть любое непустое открытое множество в содержит точку этого множества. Что и требовалось доказать. Определение. Диаметром непустого множества в метрическом пространстве называется точная верхняя грань множества всех расстояний между точками множества и обозначается . . Если , то множество называют неограниченным. Определение. Метрика метрического пространства называется ограниченной, если . Свойство 6. Любое метризуемое топологическое пространство может быть метризовано ограниченной метрикой. Доказательство. Пусть метрика порождает топологию топологического пространства . Положим для любых . Докажем следующее: 1. -метрика на ; 2. метрики и эквивалентны; 3. . 1. Проверим выполнимость аксиом. 1) ; 2); : Докажем, что . Известно, что . · Если и , то и , тогда . Так как , то . · Если или , то , а , тогда . 2. Пусть - топология, порожденная метрикой , а - топология, порожденная метрикой . Докажем, что . Пусть - открытое множество в , докажем, что множество открыто в . Для любого существует такое, что . Можно считать, что . Тогда является окрестностью в того же радиуса . Следовательно, открыто в топологии . В обратную сторону доказательство проводится аналогично. Из всего выше сказанного следует, что метрики и эквивалентны. 3. Из формулы следует, что для любых . Отсюда . Определение. - топологические пространства, . Тихоновским произведением топологических пространств называется топологическое пространство , в котором базу топологии образуют множества , где открыто в для любого и для всех индексов кроме конечного их числа. Свойство 7. Произведение счетного числа метризуемых пространств метризуемо. Доказательство. Пусть - метризуемые топологические пространства. По лемме на каждом множестве существует ограниченная метрика соответственно. Рассмотрим . Покажем: 1. является метрикой на и . 2. топология, порожденная метрикой , совпадает с топологией произведения пространств . 1. Проверим выполнимость аксиом метрики. 1) (так как - метрика по условию). 2) , . Так как (-метрика по условию), то , тогда . 3) Докажем, что . , , . Но так как выполняется неравенство , то будет выполняться неравенство: , тогда . Теперь докажем, что . , где геометрическая прогрессия, а , тогда . 2. 1) Покажем, что каждое множество , открытое в топологии, индуцированной метрикой , открыто и в топологии произведения. Рассмотрим произвольную точку . Существует такое , что . Далее достаточно найти положительное число и открытые множества , такие, что . Пусть - положительное целое число, удовлетворяющее условию: . Для положим и для . Для каждой точки . Рассмотрим полученные суммы. Так как , где , то . Так как для любых , то . Тогда , т.е. . Таким образом . Следовательно, множество открыто в тихоновской топологии произведения. 2) Пусть множество открыто в топологии произведения. Докажем, что оно открыто в топологии, порожденной метрикой . Требуется доказать, что для любой точки найдется такое , что . Так как множество открыто в топологии произведении, то для некоторого множества , где - открыто в и для любого и для всех индексов кроме конечного их числа. Поскольку и открыто в , то для конечного числа индексов, для которых . Пусть - наименьший из этих значений . Докажем, что . Возьмем произвольное . Тогда . Отсюда для любого . Это означает, что для любого . Получили . Следовательно, множество открыто в топологии, индуцируемой метрикой . Теорема доказана. Глава III. Примеры метризуемых и неметризуемых пространств 1. Дискретное топологическое пространство. - произвольное непустое множество. Открытым назовем любое подмножество в . Очевидно, при этом выполнены все аксиомы топологического пространства. Рассмотрим Для любого множество открыто, так как . Следовательно, открыто и любое подмножество в как объединение одноэлементных множеств. Вывод: дискретное топологическое пространство - метризуемо. 2. Двоеточия. . Рассмотрим топологии на . 1) - простое двоеточие. 2) - связное двоеточие. 3) - слипшееся двоеточие. - метризуемо, так как топология - дискретная. , - неметризуемы, так как не являются хаусдорфовыми. 3. Стрелка (). В открытыми назовем и множества вида , где . Очевидно, при этом выполнены все аксиомы топологического пространства. Топологическое пространство не является хаусдорфовым, а значит неметризуемо. 4. Окружности Александрова (пространство ). Открытые множества в : первого рода: интервал на малой окружности плюс его проекция на большую окружность , из которой выброшено конечное число точек. второго рода: каждая точка на большой окружности открыта. 1. Множество замкнуто в тогда и только тогда, когда - конечно. Доказательство. Очевидно, что любое конечное множество замкнуто как дополнение открытого. Пусть и - бесконечно. Докажем, что - незамкнуто. Так как - бесконечно, то оно содержит счетное подмножество, которое можно рассмотреть как последовательность точек, принадлежащих . Эта последовательность ограничена в , по теореме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Так как замкнуто в , то предел этой последовательности . Пусть - точка, для которой является проекцией на . Возьмем произвольное открытое в множество , содержащее точку . Тогда исходя из структуры открытых множеств первого рода получаем, что содержит бесконечно много точек множества , т.е. является предельной точкой множества . При этом . Следовательно, - незамкнуто. 2. Множество не совершенно нормально. Доказательство. Пусть дуга . Множество открыто, как объединение открытых одноэлементных множеств. Замкнутыми в являются по доказанному лишь конечные множества. Но счетное объединение конечных множеств счетно. Следовательно открыто и не является множеством типа . Таким образом множество неметризуемо. Библиографический список 1. Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. - М.: Наука, 1973. 2. Энгелькинг Р. Общая топология - М.: Мир, 1986. 3. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. - М. Наука, 1989.  


 

Динамические объекты
ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ Объектные переменные вo многом подобны обычным переменным Турбо Паскаля, в частности, их можно размещать в динамической памяти. Турбо Паскаль содержит средства, облегчающие размещение объектных переменных...

Всемирный Потоп и смещение полюсов
Всемирный Потоп и смещение полюсов Около 9-12-ти тысяч лет назад вымерли мамонты. Этот факт нам известен со школьных времён и ассоциируется с ледниковым периодом. Но оказывается в школе мы прошли мимо интересного факта , в тот...

Собственные значения
Собственные значения 1. ВВЕДЕНИЕ Целый ряд инженерных задач сводится к рассмотрению систем уравнений, имеющих единственное решение лишь в том случае, если известно значение некоторого входящего в них параметра. Этот особый параметр...

Приложения производной
Лицей информационных технологий Реферат Производная и ее приложения Выполнил: ученик 11А класса Новиков А. Проверила: Шекера Г.В. г.Хабаровск 2004 Содержание ...

Физический смысл гравитации
Физический смысл гравитации Юрий Солоневич Аннотация: Гравитационное поле в Теории Симметричных Процессов рассматривается, как вихревое, замкнутое (завершённое) электромагнитное поле ядра явления. Под ...

Матожидание, дисперсия, мода и медиана
Математическое ожидание и его свойства. Одной из важных числовых характеристик случайной величины является математическое ожидание. Введем понятие системы случайных величин. Рассмотрим совокупность случайных величин [pic], которые...

Коричневые карлики
Коричневые карлики Владимир Сурдин Коричневые карлики - космические тела, занимающие по своим массам промежуточное положение между звездами и планетами. Коричневыми карликами принято называть объекты с массами...

Кривизна плоской кривой. Эволюта и эвольвента
Кривизна плоской кривой. Эволюта и эвольвента Реферат по математическому анализу выполнил:  студент  МГТУ им. Баумана группа Э2 –11 Тимофеев Дмитрий Москва 2004. Введение Для более полного...

Марс
Марс По размеру планета занимает промежуточное положение между Землей и Луной. Марс вдвое меньше Земли по диаметру. Его орбита имеет значительный эксцентриситет, поэтому, когда противостояние Марса происходит вблизи афелия, его...

История математики
История математики Реферат подготовила: Арина 2003 год Самой древней математической деятельностью был счет. Счет был необходим, чтобы следить за поголовьем скота и вести торговлю. Некоторые первобытные...

Естественные архивы солнечной активности и термоядерной истории Солнца за последние миллионы лет
Естественные архивы солнечной активности и термоядерной истории Солнца за последние миллионы лет Г. Е. Кочаров, Санкт-Петербургский государственный технический университет Рассмотрены возможности естественных детекторов...